שיעור 70: נקודות פיתול ותחומי קעירות 1

מציאת נקודות פיתול ותחומי קעירות וקשר f (x) f'(x) f" (x)

1🔷 תזכורת מהסרטוט: תחומי קעירות ונקודת פיתול בגרף

2🔵 תרגיל 1: נקודת פיתול ותחומי קעירות של y = x³ + 3x² − 9x

🔷 תזכורת מהסרטוט: תחומי קעירות ונקודת פיתול בגרף

בסרטוט: איפה הפונקציה קעורה כלפי מטה, איפה כלפי מעלה, ואיפה נקודת הפיתול?

−2 < x < 2 – קעורה כלפי מטה ∩ (קערה הפוכה).

2 < x < 6 – קעורה כלפי מעלה ∪.

ב-(2 , 0) הקעירות מתהפכת – זו נקודת פיתול.

✅ ∩ −2 < x < 2 , ∪ 2 < x < 6 , פיתול (2 , 0)

🔵 תרגיל 1: נקודת פיתול ותחומי קעירות של y = x³ + 3x² − 9x

מצא נקודות פיתול ותחומי קעירות כלפי מעלה ומטה לפונקציה: y = x³ + 3x² − 9x

גוזרים פעמיים ומשווים לאפס:

f′(x) = 3x² + 6x − 9

f″(x) = 6x + 6 = 0

6x = −6

x = −1 ← חשודה לנקודת פיתול

מציבים ב-f″ מספר לפני −1 ומספר אחרי:

f″(0) = 6·0 + 6 = 6 > 0

f″(−2) = 6·(−2) + 6 = −6 < 0

x	x < −1	−1	x > −1
הצבה	x = −2		x = 0
f″(x)	−	0	+
f(x)	∩	פיתול	∪

🔵 תרגיל 1: נקודת פיתול ותחומי קעירות של y = x³ + 3x² − 9x · המשך

x	x < −1	−1	x > −1
הצבה	x = −2		x = 0
f″(x)	−	0	+
f(x)	∩	פיתול	∪

f″(x) > 0 ← קעורה כלפי מעלה ∪ ; f″(x) < 0 ← קעורה כלפי מטה ∩

יש שינוי מ-∩ ל-∪, ולכן x = −1 היא נקודת פיתול.

(אם היה יוצא ∪ ו-∪ או ∩ ו-∩ – אין שינוי, ואין נקודת פיתול.)

מציבים בפונקציה המקורית:

y = (−1)³ + 3·(−1)² − 9·(−1)

y = −1 + 3 + 9 = 11

✅ ∪ x > −1 , ∩ x < −1
נקודת פיתול (−1 , 11)

📌 לזכור

💡 נקודת פיתול: f″(x) = 0 נותן נקודה חשודה. מציבים ב-f″ לפני ואחרי: f″ > 0 ← ∪ , f″ < 0 ← ∩. רק כשהקעירות מתחלפת זו נקודת פיתול, ואת ה-y מוצאים מהפונקציה המקורית.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא